函數(shù)最值的應(yīng)用精選(五篇)

序言：作為思想的載體和知識的探索者，寫作是一種獨(dú)特的藝術(shù)，我們?yōu)槟鷾?zhǔn)備了不同風(fēng)格的5篇函數(shù)最值的應(yīng)用，期待它們能激發(fā)您的靈感。

篇1

一、三角函數(shù)最值

1.構(gòu)造復(fù)數(shù)法

根據(jù)所給函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把它與復(fù)數(shù)聯(lián)系起來，再通過復(fù)數(shù)的性質(zhì)來確定最值。如復(fù)數(shù)a+bi的模為■，若函數(shù)表達(dá)式中一些項(xiàng)形如■時可考慮構(gòu)造相關(guān)復(fù)數(shù)。某些三角函數(shù)式實(shí)質(zhì)上可以看成幾個復(fù)數(shù)的模的和或差，因此，求這樣的式子的最值可以轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)的模的最值問題。根據(jù)三角問題的條件、結(jié)構(gòu)，找出與復(fù)數(shù)知識的溝通點(diǎn)，明確解題方向，然后利用復(fù)數(shù)的模，將題設(shè)對照復(fù)數(shù)模的形式，結(jié)合模的性質(zhì)構(gòu)造復(fù)數(shù)。

例1：求函數(shù)f（x）=■+■的最值。

解：原函數(shù)可改寫為：

f（x）=■+■，

顯然當(dāng)sinx=-1時，f（x）max=■+■，

下面求其最小值，可構(gòu)造兩個復(fù)數(shù)：z1=（1-2sinx）+2i，z2=2sinx+i，

則f（x）=|z1|+|z2|；|z1+z2|=|1+3i|=■，

由不等式|z1|+|z2|≥|z1+z2|=■當(dāng)且僅當(dāng)■=■時取等號，即當(dāng)sinx=■時，f（x）min=■。

2.利用立體幾何圖形法

根據(jù)約束條件和所求量的幾何意義構(gòu)造幾何模型，再通過圖象來確定最值。

有些三角函數(shù)問題蘊(yùn)含著豐富的幾何直觀性，若能“以數(shù)思形”，進(jìn)行“數(shù)形聯(lián)想”，就可以通過構(gòu)造圖形并研究圖形的幾何性質(zhì)來達(dá)到求最值的目的。給出函數(shù)表達(dá)式求最值時，應(yīng)該考查表達(dá)式和約束條件有什么幾何意義，把代數(shù)條件及函數(shù)表達(dá)式分別做出幾何解釋，為題中所給定的代數(shù)值選取適當(dāng)?shù)膸缀瘟浚鶕?jù)題意來設(shè)計(jì)圖形的大小和位置關(guān)系，通過幾何學(xué)構(gòu)造圖形，使題目圖形化，借助于圖形的直觀性來揭示函數(shù)的最值。此外，這種化抽象為具體、數(shù)形滲透的做法，往往還可以減少復(fù)雜的推導(dǎo)。

例2：若α、β、γ均為銳角，滿足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求y=cotαcotβcotγ的最小值。

分析：sin2α+sin2β+sin2γ=1可構(gòu)成一條對角線為1的長方體，將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為立體幾何圖形上。

解：如右圖，設(shè)長方體AC1的對角線B1D=1，∠BB1D=α，∠A1B1D=β，∠C1B1D=γ。

則有sin2α+sin2β+sin2γ=1。

設(shè)長方體的三邊長為a、b、c，則

y=cotαcotβcotγ

=■■■

≥■=2■，

即ymin=2■。

二、總結(jié)

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下更多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題，主動地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析生活現(xiàn)象，自主地解決生活中的實(shí)際問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該將課堂與生活緊密聯(lián)系起來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活、寓于生活、用于生活，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到學(xué)生的生活實(shí)際中去體驗(yàn)感受，使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)既來源于生活，又是解決生活問題的基本工具，達(dá)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生活化的目的。

參考文獻(xiàn)：

1.趙裕民.用數(shù)學(xué)思想方法探求三角函數(shù)的最值例談.數(shù)學(xué)通訊，1996.9：11-13.

2.劉艷玲.求函數(shù)最值的初等方法.菏澤師專學(xué)院，1999（21）：98-100.

篇2

三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)性質(zhì)的一個重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具.因此，對三角函數(shù)最值的考查總是每年高考的一個熱點(diǎn)，題型有客觀題和主觀題，多數(shù)處在高考試卷解答題中的中檔題位置，也具有一定的靈活性和綜合性. 

 

重點(diǎn)難點(diǎn)

求三角函數(shù)的最值問題就是通過適當(dāng)?shù)娜亲儞Q或代數(shù)換元，化歸為基本類型的三角函數(shù)或代數(shù)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性或常用的求函數(shù)最值的方法來處理；還可以通過數(shù)形結(jié)合利用三角函數(shù)的圖象或其他幾何意義求解.

 

重點(diǎn)：明確三角函數(shù)的最值的常見類型和處理方法，能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過變形、換元等方法熟練地求解三角函數(shù)的值域和最值.

難點(diǎn)：三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的角的取值范圍，還要注意弦函數(shù)的有界性. 含參數(shù)三角函數(shù)的最值的分類討論也是一個難點(diǎn).

 

方法突破

三角函數(shù)的值域或最值的考查，一般有兩種形式：一種是化為一個角的三角函數(shù)的形式，如y=asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范圍的考慮；另一種是轉(zhuǎn)化為以某一三角函數(shù)為未知數(shù)的常見函數(shù)問題，如y=f（sinx），要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 具體類型有：

篇3

關(guān)鍵詞：均值不等式 函數(shù) 最值 應(yīng)用

均值不等式是高中數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容，均值不等式在求函數(shù)最值、解決一些取值范圍問題時運(yùn)用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識點(diǎn)之一。在實(shí)際應(yīng)用時，我們應(yīng)因題而宜地進(jìn)行變換，并注意等號成立的條件，達(dá)到解題的目的，變換題目所給函數(shù)的形式，利用熟悉知識求解是常用的解題技巧，熟練運(yùn)用該技巧，對于提高思維的靈活性和嚴(yán)密性大有益處。

一、運(yùn)用均值不等式時應(yīng)注意事項(xiàng)

在解決這一類型的題時需要特別注意的是等號成立的條件，特別是遇到一些函數(shù)本身就有取值限制范圍時，需要根據(jù)函數(shù)合理存在的限制取值范圍再求函數(shù)的最值。

二、把所給函數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化成均值不等式后求最值

這是一種比較難掌握的方法，因此運(yùn)用此法需要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，敏銳的觀察力。下面舉兩個例子對此法加以介紹。

欲靈活應(yīng)用此法，需要多練習(xí)，并在解題的過程中體會總結(jié)規(guī)律，達(dá)到孰能生巧，總之，遇到此類型的題，最重要的是需配出相應(yīng)的形式。

三、結(jié)語

以上通過幾個實(shí)例簡單介紹了利用均值不等式求最值問題需要注意的一些事項(xiàng)，但對于具體題目，有時可能有多種解題方法，究竟如何求出函數(shù)合理的最值，還需要我們在教和學(xué)的實(shí)踐中不斷探索和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王影.求函數(shù)值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.

[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數(shù)的最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，（4）.

[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點(diǎn).中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003，（1）.

[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實(shí)篇――學(xué)習(xí)方法總結(jié)，2009，（9）.

[5]劉新良，李慶社.十二種求函數(shù)值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

[6]高飛，朱傳橋.巧用均值不等式球最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2007，（5）.

篇4

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養(yǎng)雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：AB=x BC=100-2x

S=AB?BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

當(dāng)x=25時，Smax=1250

正確解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB?BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S隨x的增大而減小

當(dāng)x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時，S會有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開口向上沒有最大值

例2.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專業(yè)戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，當(dāng)x=2時，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，當(dāng)x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，這位專業(yè)戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點(diǎn)評：此題第（2）問，很多學(xué)生會說a=0.5，二次函數(shù)開口向上，應(yīng)該沒有最大值，其實(shí)不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

篇5

關(guān)鍵詞： 最小二乘法 直線擬合 LINEST函數(shù) 應(yīng)用

一、最小二乘法求直線擬合的原理

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，有不少直接從實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)求某種物理規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)方程即函數(shù)關(guān)系的問題，此類問題稱為方程的回歸問題。方程的回歸的首要問題就是確定函數(shù)形式，兩個物理量x、y之間存在：y=a+bx（1）的線性關(guān)系，如用自由下落物體測量重力加速度，在氣墊導(dǎo)軌上驗(yàn)證牛頓第二定律，用拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實(shí)驗(yàn)中力敏傳感器的定標(biāo)，等等，（1）式中a、b均為常數(shù)，且只有一個變量x，此類關(guān)系也稱為一元線性回歸。回歸的問題可以認(rèn)為是用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)，即求解參數(shù)a、b。例如實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)是x=x，x，…，x時，與之對應(yīng)的y=y，y，…，y。假設(shè)x的誤差可以忽略，僅y具有相互獨(dú)立滿足正態(tài)分布的測量誤差，記作d，d，…，d。這樣，把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知數(shù)比方程數(shù)多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根據(jù)最小二乘原理，使y的殘差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）為極小值。由=0和=0，分別可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），聯(lián)立上式可得：a=（6），b=（7），進(jìn)一步可得x和y的相關(guān)系數(shù)r：r==（8）。

二、LINEST函數(shù)的應(yīng)用舉例

拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的一個經(jīng)典實(shí)驗(yàn)。隨著實(shí)驗(yàn)儀器的更新，傳統(tǒng)的焦利氏稱逐漸作簡便準(zhǔn)確度更高的FD-NST-Ⅰ型液體表面張力系數(shù)測定儀所取代，實(shí)驗(yàn)儀器如圖1所示。

在該實(shí)驗(yàn)中，記下吊環(huán)即將拉斷液柱前一瞬間數(shù)字電壓表讀數(shù)值，拉斷時瞬間數(shù)字電壓表讀數(shù)U，便可依據(jù)公式f=（U-U）/b（9）測得液體表面張力f，（9）式中b為硅壓阻力敏傳感器的靈敏度。在力敏傳感器上分別加各種質(zhì)量的砝碼，測出相應(yīng)的電壓輸出值，結(jié)果見表1所示。

力敏傳感器為測力裝置，在拉力小于0.098N時，拉力和數(shù)字電壓表的輸出值成y=a+bx的線性關(guān)系，其中b為力敏傳感器的靈敏度。得到b值的過程我們稱為力敏傳感器的定標(biāo)。在定標(biāo)過程中需要用最小二乘法擬合儀器的靈敏度b，該計(jì)算很繁瑣，但根據(jù)誤差理論此方法最佳，我們可利用Excel軟件中的LINEST函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，方便簡潔不易出現(xiàn)錯誤。

打開Excel軟件，在A欄和B欄分別輸入數(shù)字電壓表的輸出值和砝碼對應(yīng)的拉力數(shù)值，其中B欄數(shù)值的單位為N，如圖2。

選C、D欄為放計(jì)算結(jié)果的區(qū)間，鼠標(biāo)點(diǎn)擊“插入”欄選擇“插入函數(shù)”，彈出“插入函數(shù)”二級界面后，在“或選擇類別”欄選擇“統(tǒng)計(jì)”，在“選擇函數(shù)欄”點(diǎn)擊LINEST函數(shù)，如圖3所示。

鼠標(biāo)點(diǎn)擊確定后進(jìn)入如圖4所示的界面，在Known_y’s欄輸入A1∶A7，在Known_x’s欄輸入B1∶B7，Const和Stats欄分別輸入true。

按Ctrl+Shift+Enter鍵，便得到了最小二乘法求直線擬合后的數(shù)據(jù)，如圖5所示。其中C1欄顯示為斜率，即經(jīng)最小二乘法擬合后的儀器的靈敏度b，b=3.015×10mV/N。C3欄為擬合的線性相關(guān)系數(shù)r=0.9994。

三、結(jié)語

通過以上的實(shí)例分析可知，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，用傳統(tǒng)方法求解一元線性回歸方程的參數(shù)計(jì)算量大，容易出現(xiàn)錯誤，學(xué)生在處理數(shù)據(jù)時也易產(chǎn)生抵觸心理。合理利用Excel軟件中的LINEST函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，簡單方便，不失為最小二乘法求直線擬合的一種好方法。

參考文獻(xiàn)：

［1］楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)（2版）.北京：高等教育出版社，1993.3.